Galleria Dei Grandi Matematici

Galleria dei grandi matematici della storia

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Pitagora

Molte delle sue opere attribuitegli sono invece dei suoi discepoli. Soggiorno' in Egitto e a Babilonia prima di stabilirsi in una colonia calabrese della Magna Grecia, Crotone. Qui stabili' una vera e propria setta che professava una religione misterica. Nella comunita', i discepoli di Pitagora erano divisi in due gruppi: uno formato da "ascoltatori" senza diritto di parola, l'altro da "matematici", che potevano stimolare il maestro con domande, alle quali Pitagora dava risposte da considerare definitive. Il famoso ipse dixit e' nato proprio allora.

Ricordiamo la tavola Pitagorica, anche se era nota da tempo e l'attribuzione non ha fondamento storico. La dimostrazione che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo e' sempre 180°. La somma dei primi n numeri dispari e' uguale a n². Lo studio della sezione aurea. Il teorema di Pitagora, anche se la prima dimostrazione rigorosa la dobbiamo ad Euclide. Studiarono la diagonale del quadrato e capirono che e' incommensurabile con lato, cioe' non esiste un segmentino per quanto piccolo che sia contenuto un esatto numero di volte sia nella diagonale che nel lato; il fattore esiste ma e' la radice quadrata di due, un numero decimale illimitato e non periodico cioe' irrazionale. Per questo motivo Pitagora obbligo' i suoi discepoli a non parlarne per non incorrere nell'ira degli dei!

Samo (420 a.C. ?)

Metaponto (500 a.C.?)

Euclide

Vissuto nel III secolo a.C., sappiamo soltanto che insegnava ottica, meccanica e astronomia alla scuola di Alessandria. Forse Euclide non ha fatto scoperte di rilievo in matematica, ma possedeva una grande capacita' espositiva, come risulta nelle sue opere, e sapeva impostare con rigore ogni dimostrazione. Il teorema di Pitagora nelle nostre scuole viene ancora dimostrato alla maniera di Euclide, cioe' premettendo uno dei due teoremi che gli vengono attribuiti.

L'opera principale di Euclide s'intitola Elementi e comprende 13 libri; e' assimilabile a un manuale che riassume tutta la matematica elementare nota a quel tempo, e cioe' l'aritmetica, la geometria del piano e dei solidi, il metodo di esaustione (per il calcolo delle aree), i problemi risolubili con riga e compasso, ecc. Il primo libro inizia con una serie di definizioni, seguite da cinque assiomi (nozioni evidenti e indimostrabili) e cinque postulati (non evidenti e percio' si chiedeva la loro accettazione).

E' importante soffermarsi sul quinto postulato accettato per oltre 2000 anni, ma dal cui rifiuto nacquero le geometrie non euclidee: per un qualsiasi punto del piano si puo' condurre una ed una sola retta parallela a una retta data non passante per il punto.

Insegnava alla scuola di Alessandria

Pacioli

La prima opera matematica stampata in Italia fu la Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita' del francescano Luca Pacioli. Ma il trattato per cui e' famoso e' un altro: De divina proportione in cui Leonardo da Vinci disegno' alcune figure, mentre Piero della Francesca e Leon Battista Alberti gli ispirarono non poche considerazioni sui rapporti fra i poligoni, i principi dell'architettura e la struttura del corpo umano.

La Summa e' il miglior testo riassuntivo di aritmetica e algebra apparso in quel periodo; fra i suoi meriti forse il maggiore e' quello di aver illustrato, in forma elementare ma rigorosa, come devono esser fatte dai mercanti le registrazioni in "partita doppia".

Borgo S.Sepolcro 1445?

Roma 1510

Tartaglia

Niccolo' Fontana soprannominato Tartaglia perche' parlava con difficolta', essendo stato ferito al volto a 13 anni, quando i francesi saccheggiarono Brescia.

Il difetto non gli impedi' di insegnare matematica, ma non ottenne mai cattedre nelle universita'. Scopri' una formula risolutiva per qualunque equazione di terzo grado, che comunico' a Cardano per ottenere una cattedra. Scrisse anche una importante enciclopedia di matematica elementare e gli viene attribuito un "triangolo" per trovare i coefficienti dell'elevamento a qualunque potenza di un binomio, anche se era gia' noto da tempo.

Brescia 1499

1557

Fermat

Il titolo di "principe dei dilettanti" va sicuramente a Pierre de Fermat che aveva studiato legge a Tolosa e fece poi l'avvocato e il consigliere nella stessa citta'. Fermat si dedico' alla ricostruzione di letteratura e di matematica; forse questo lavoro lo stimolo' a riflessioni che lo portarono a scoperte di straordinario interesse. Purtroppo, Fermat non pubblico' i risultati delle sue considerazioni matematiche e si limito a comunicarli per lettera a Mersenne, che li faceva conoscere a questo o quel matematico, ma non sistematicamente. La priorita' di molte scoperte non viene attribuita a Fermat (i cui scritti vennero pubblicati postumi dal figlio) proprio per questo motivo.

A lui si devono, contemporaneamente Pascal, i primi concetti sul calcolo delle probabilita' e alcune lettere dimostrano che, partendo dalla ricostruzione di un'opera di Apollonio, Fermat era giunto a rappresentare le curve geometriche espresse mediante equazioni in un sistema di coordinate ortogonali, prima che Cartesio proponesse la sua geometria analitica. Ma Fermat anticipo' anche il calcolo differenziale e soprattutto fondo' la moderna teoria dei numeri: in tale contesto formulo' anche congetture che successive ricerche hanno dimostrato false.

Di altri teoremi pero' e' stata dimostrata la validita', mentre resta ancora da dimostrare il "grande" o "ultimo teorema di Fermat": non esistono numeri interi positivi x, y e z tali che xn+yn=zn, se n e' un numero intero maggiore di 2, le terne pitagoriche soddisfano l'uguaglianza, mentre per n=3 Fermat ha dimostrato la validita' del teorema. Per n piu' grande di tre, Fermat ha scritto, sul margine di una pagina dell'Arithmetica di Diofanto che aveva sottomano, di aver trovato "una meravigliosa dimostrazione", pero' troppo lunga "per essere contenuta in questo margine". Da piu' di tre secoli, innumerevoli matematici tentano in vano di trovare la dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat.

1601

1665

Cartesio

Anche Rene' Descartes, noto in Italia come Cartesio, e' da considerare un dilettante in matematica, perche' il suo impegno maggiore venne rivolto alla filosofia. A quei tempi i conflitti dei filosofi e degli scienziati con le autorita' religiose erano frequenti, e Cartesio (che ben conosceva le amare vicende di Galilei) pubblico' nel 1637 solo parzialmente il suo Trattato del mondo, riducendolo a solo tre saggi (La diottrica, Le meteore, La geometria) nei quali espose le sue tesi scientifiche, facendole precedere da un'introduzione che divenne famosa con il titolo Discorso sul metodo. Come Galilei, anche Cartesio vide nel metodo matematico il modo rigoroso per ottenere risultati non discutibili, ma diversamente non si fido' ciecamente della matematica e analizzo' geometria e algebra per studiarne pregi e difetti; Cartesio volle garantirsi che il metodo non lo ingannasse. Saranno questo dubbio metodico e questa analisi che lo porteranno a intrecciare geometria e algebra in una nuova disciplina, la geometria analitica, che getta un nuovo ponte fra due branche fino a quel momento distinte. Per la verita', la geometria analitica odierna e' ben diversa da quella impostata da Cartesio, e gli assi che chiamiamo "cartesiani" non si trovano nella sua opera, che fu di lettura difficile soprattutto per i contemporanei: il saggio intitolato La geometria ebbe numerose edizioni con molti commenti chiarificatori. Cartesio mori' di polmonite in un gelido febbraio, a Stoccolma, dove si era recato per insegnare filosofia alla ventiquattrenne regina Cristina. Nasceva a lezione quando la regina era libera dai suoi impegni, e cioe' alle cinque del mattino, e doveva raggiungere il castello partendo dalla cassa dell'ambasciatore di Francia, salendo poi 115 scalini per arrivare all'appartamento reale! Quasi una tortura.

1596

1650

Torricelli

Torricelli, noto per l'invenzione del barometro, collabor� con Galilei ad Arcetri per pochi mesi soltanto, fino alla morte del maestro, e venne poi nominato matematico e filosofo del granduca di Toscana. Estendendo poi le idee di Cavalieri, scompose le figure piane in un sistema continuo di rettangoli paralleli con la base infinitesima ("indivisibili rettilinei"), ma certi casi introdusse anche "indivisibili curvi", per ottenere la quadratura e la cubatura di figure. Torricelli espose nell'Opera geometrica le sue scoperte, fra le quali un metodo (che viene attribuito a Roberval) per costruire le tangenti di una curva piana.

1608

1647

Newton

Isaac Newton comp� le sue scoperte pi� importanti fra il 1665 e il 1667, quando l'universit� di Cambridge venne chiusa perch� Londra viveva con l'incubo della peste, anche se tali scoperte non vennero subito rese pubbliche: i Principia che contengono la legge di gravitazione universale, ma anche molta matematica pura, videro la luce nel 1687. Le teorie sulla luce e alcuni contributi matematici non si fecero per� attendere molto e quando, nel 1669, Newton succedette a Barrow sulla cattedra di matematica il suo metodo delle "flussioni" era gi� chiaramente definito e pronto per essere insegnato. Newton chiam� flussione ci� che noi definiamo derivata: quando una grandezza � generata dal moto continuo di un'altra (per esempio, una linea � generata dal moto continuo di un punto) e si accresce pi� o meno rapidamente nel tempo pi�, la velocit� di accrescimento viene detta flussione. Partendo da questo presupposto, Newton edific� il calcolo differenziale, che gli permetteva di calcolare punto per punto la velocit� e l'accelerazione di un pianeta sull'orbita attorno al Sole, o quelle della Luna sull'orbita attorno alla Terra.

L'applicazione delle flussioni all'astronomia era certamente la pi� interessante, ma Newton fu costretto a rinviarla per la mancanza di dati precisi relativi al globo terrestre; il metodo delle flussioni perci� venne impiegato per lo studio delle curve, la determinazioni di massimi, minimi e flessi, ecc.

1642

1727

Leibniz

Nel 1672 Leibniz conosce a Parigi Huygens, da cui riceve i primi consigli per diventare matematico, ma certamente non era ancora in grado di capire l'importanza di un testo manoscritto di Newton intitolato De analisi;eppure, proprio sulla presunta lettura di questo manoscritto si fond� la polemica feroce di Newton contro Leibniz quando quest'ultimo, nel 1684, pubblic� il suo testo sul calcolo differenziale. Oggi possiamo affermare che la scoperta fu indipendente e, senza togliere i suoi meriti a Newton, possiamo notare che Leibniz fu molto pi� accurato nella scelta dei termini con i quali disporre il suo metodo e soprattutto scelse una notazione simbolica molto pi� elegante e precisa. I simboli erano ormai molto diffusi in matematica e fu importante sceglierli oculatamente.

1646

1716

D'Alambert

La relazione fra il generale d'artiglieria Destouches e Madame de Tendencin, aveva dato un frutto indesiderato , che venne abbandonato su cui le redini della cappella di Saint Jean Baptiste Le Ronde, a Parigi, non lontano da Notre-Dame. il bambino viene allevato nella famiglia di un povero vetraio e Jean Le Ronde (che in giovent� aggiunse, per ragioni sconosciute, un d'Alambert al suo nome) consider� sempre la moglie del vetraio com'era sua vera madre, recitando il riconoscimento tardivo da parte di Madame de Tencin. Il suo impegno nella redazione della famosa Encyclop�die con Diderot per certi aspetti nasconde ai nostri occhi i suoi straordinari meriti come matematico e fisico. Il calcolo differenziale e integrale trovava a quei tempi applicazioni in molti campi della scienza e d'Alambert lo utilizz� in dinamica e per lo studio delle corde vibranti. Il suo genio precoce gli consent� di essere eletto, a soli 24 anni, n� numero dell'Accademia delle scienze; a 37 anni mi divenne " segretario perpetuo ". Federico II e Caterina la Grande insistettero inutilmente per averlo alla loro corte, nelle accademie tedesca e russa; d'Alambert rimase a Parigi e fu probabilmente lo scienziato pi� influente del suo paese nel periodo che precede la rivoluzione.

1717

1783

Lagrange

Matematico passato indenne fra i pericoli della rivoluzione fu il torinese Giuseppe Luigi Lagrange, gi� noto quando trentenne venne chiamato da Federico II ha sostituire Eulero all'accademia di Berlino, su proposta dello stesso Eulero. nel 1787, Luigi XVI lo invit� a Parigi, e durante la rivoluzione presiedette la commissione per il sistema metrico decimale. Successivamente, Napoleone lo nomin� senatore e conte; quando mor� in te sepoltura al Pantheon. Lagrange � famoso per aver risolto. Caso particolare delle " problema di tre corpi ", che i matematici considerano come il problema classico dell'et� moderna. Le leggi di Keplero affermano che i pianeti iscrivono corpi che i delitti che intorno al sole, e le equazioni di Newton dimostrano che questo � vero, ma soltanto nel caso che nell'universo esista un unico sole che un solo pianeta; se accanto al sistema dei due astri che esiste una terzo corpo (un altro pianeta o un satellite) che fa sentire la sua attrazione gravitazionale, l'orbita non � pi� un ellisse, ma viene deformata in una curva non perfettamente definibile. Nell'universo di astri sono numerosissimi e il problema dei tre corpi si complica ne problema degli n corpi, e la soluzione si trova in forma soltanto approssimata.

Torino 1736

Parigi? 1813

Gauss

Il primo episodio della vita di Gauss come matematico viene raccontato in tanti modi differenti, ma sostanzialmente simili; il maestro della scuola di Braunscweig, volendo passare un pomeriggio tranquillo, aveva assegnato un esercizio lungo e noioso, quello di sommare i numeri da uno a 80. Dopo pochi minuti, Gauss depose sulla cattedra la lavagnetta con il risultato, suscitando le ire del maestro che pensava a uno scherzo; tuttavia, un paio d'ore pi� tardi, quando tutti ebbero finito l'esercizio, dovette ricredersi, perch� Gauss era uno dei pochi scolari che avevano trovato il risultato esatto. Stupito, il maestro chiese al ragazzo come fosse riuscito a calcolare tanto rapidamente e Gauss gli fece notare che i numeri si possono scrivere in sequenza ascendente o discendente cos�:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 79 80

80 79 78 77 76 75 74 73 72 ... 2 1

e che la somma di ogni coppia di numeri in colonna � sempre ottantuno; basta quindi moltiplicare ottantuno per le ottanta coppie e dividere per due per ottenere 3240, cio� il risultato dell'esercizio.

Carl Friedrich Gauss era figlio di un operaio ed il detto l'opportunit� di studiare, contro il volere del padre, grazie all'aiuto del duca di Braunschweig; a 18 anni si iscrisse all'universit� di Gottinga, citt� cui le rimase praticamente per tutto il resto della vita. Il 30 marzo 1796, scopr� il modo per costruire con la riga e compasso il poligono regolare di 17 lati; escludendo il triangolo e il pentagono nessuno era riuscito prima a costruire una poligono regolare avente un numero primo come numero di lati. Da quel giorno, Gauss annot� in un diario le sue scoperte: in una ventina di pagine sono elencati 146 risultati che egli riteneva importanti (l'ultimo � datato 9 luglio 1814). Il libricino � prezioso per stabilire la priorit� di molte scoperte che fino al 1898, quando il diario venne ritrovato fra le carte del nipote, si attribuivano ad altri matematici. Gauss non fu soltanto un grande teorico, ma dimostr� un vivo interesse per le applicazioni della matematica: la scoperta del primo pianetino, Cerere, lo indusse nel 1801 a stabilire il metodo per determinarne l'orbita in base alle poche osservazioni fatte, in modo di ritrovarlo l'anno seguente. Questa e altre ricerche e di meccanica celeste gli valsero la nomina a direttore dell'osservatorio. Partendo dall'analisi delle osservazioni astronomiche, dimostr� la legge di distribuzione degli errori, che si rappresenta con la curva "gaussiana", e trov� il metodo e i minimi quadrati, che si utilizza per stabilire la curva che rappresenta nel modo migliore i risultati di una serie di osservazioni. Applic� la matematica anche a studi di ottica geometrica e alla elettrostatica; ma Gauss � considerato il "principe di matematici", forse il pi� grande di tutti i tempi, per il rigore delle sue dimostrazioni e la genialit� delle sue intuizioni. Non amava rendere pubbliche le sue ricerche: lo faceva soltanto quando era giunto a risultati precisi e in ogni caso tali da non "suscitare le rischia dei beoti". Va ricordato ancora per le ricerche sulla teoria dei numeri, le geometrie non euclidee, e gli studi sulle congruenze, per la prima rappresentazione dei numeri complessi e per la dimostrazione rigorosa del teorema fondamentale dell'algebra, formulato da d'Alambert.

1777

Gottinga 1855

Cauchy

Le intuizioni di Gauss e le sue note private mettevano a disagio in matematici che, dopo aver lavorato pazientemente per approfondire un'idea, scoprivano che Gauss l'aveva gi� presa in considerazione e almeno in parte sviluppata. Oggi la teoria delle funzioni di variabile complessa viene attribuita a Cauchy, ma gi� nel 1811 Gauss aveva esposto a un amico un teorema fondamentale sull'argomento. Lo sviluppo completo della teoria � tuttavia dovuto proprio a Augustin Cauchy. � stato il pi� grande matematico francese del periodo post napoleonico; legittimista convinto, insegn� al collegio di Francia e tal politecnico dalla restaurazione fino al 1830, quando rifiut� il giuramento al re Luigi Filippo, che i rivoluzionari avevano chiamato a sostituire i Borboni. Per Cauchy venne allora creata una cattedra a Torino, dove rimase due anni, prima di trasferirsi a Praga come precettore delle duca di Bordeaux. Infine, nel 1838 ritorn� a Parigi e, dispensato dal giuramento (regnava Napoleone III), insegn� alla Sorbona fino alla morte.

Oltre alla teoria delle funzioni di variabili complessa, a Cauchy si devono teoremi fondamentali sull'esistenza e unicit� della risoluzione di un'equazione o dei sistemi di equazioni differenziali, sul calcolo integrale e contributi nel campo dell'ottica e della meccanica. Cauchy fu un ricercatore molto attivo e pubblic� pi� di 500 memorie.

Parigi 1789

Sorbona 1857

Abel

Figlio del povero pastore protestante di un villaggio a 18 anni, malaticcio (morir� di tubercolosi), si trov� a dovere provvedere in qualche modo a una famiglia numerosa. Malgrado queste difficolt�, non abbandon� su due ricerche e riferendosi, dopo essersi il lusso di aver trovato la formula risolvente per le equazioni di quinto grado, dimostr� che � impossibile trovare un procedimento di soluzione valido in ogni caso per le equazioni di grado superiore al quarto. Questa dimostrazione (anticipata in maniera meno convincente da Ruffini nel 1799) o se fine ha i tentativi compiuti da innumerevoli matematici fin dai tempi Cardano, che aveva pubblicato le risolventi per le equazioni di terzo e quarto grado. Nel 1826 Abel si rec� a Parigi, con la speranza di ottenere un incarico universitario e lasci� una memoria sulle funzioni trascendenti a Cauchy, perch� le giudicasse; ma il barone francese non lesse il lavoro e lo smarr�. La memoria venne pubblicata soltanto dopo la morte in povert� di Abel, e da essa derivano espressioni e concetti come "funzione abeliana" e "gruppo abeliano". D'altra parte, gi� le precedenti ricerche di Abel lo avevano segnalato all'attenzione del mondo accademico e l'universit� Berlino lo aveva nominato professore di matematica; la lettera di incarico giunse a destinazione due giorni dopo la morte di Abel!

1802

1829

Fourier

Fourier condusse una strordinaria doppia vita, di giorno era un alto ufficiale del governo di Napoleone, di notte era un matematico di grande importanza. Egli segui' Napoleone in guerra in Egitto dal 1798 al 1801; successivamente divenne prefetto del Department d'Is�re in Francia, fino alla prima grande caduta di Napoleone nel 1814. Durante l'ultimo periodo egli lavoro sulla teoria dei flussi di calore, nel 1807 invio' un trattato di 234 pagine ai grandi luminari dell'epoca, come Lagrange e Laplace. Essi ebbero problemi nel capire il suo adattamento nell'espansioni delle serie, da un'idea di Bernoulli. Solo nel 1822, dopo lunghe controversie il suo lavoro fu pubblicato e l'espansione in serie porta tutt'oggi il suo nome. L'espansione in serie di Fourier afferma che una qualunque funzione puo' essere vista come una somma di infinite funzioni seno e coseno con opportuni coefficienti moltiplicativi.

1768

1830

Galois

Era il figlio del sindaco di un sobborgo di Parigi e si convinse ben presto di essere un genio matematico, tanto da trascurare le altre materie di studio indispensabili per essere ammesso al politecnico: venne respinto due volte per la scarsa preparazione generale. A 17 anni, Galois consegnano una memoria che riassumeva le sue scoperte a Cauchy perch� la presentasse all'accademia delle scienze, ma il distratto barone la smarr�. In quello stesso anno suo padre mor� suicida e Evariste Galois imper� alla scuola normale per prepararsi all'insegnamento.

Quando, nel 1830, l'accademia delle scienze bandito un concorso per premiare una ricerca matematica, Galois present� un lavoro; Fourier, segretario dell'accademia, se lo port� a casa per leggerlo, ma poco tempo dopo mor� e anche questo lavoro hanno smarrito. L'irritazione del giovane doveva essere al colmo, tanto che si comport� in modo tale da finire espulso dalla scuola normale. Galois fece un ultimo tentativo per presentare una memoria all'accademia, ma il suo lavoro venne respinto da Poisson come incomprensibile; fu allora che Galois decise di arruolarsi. Purtroppo il suo carattere irrequieto e probabilmente irritante lo port� in carcere per alcuni mesi e subito dopo lo trascin� in un duello a causa di una donna. Galois trascorse la notte precedente il duello scrivendo freneticamente una riassunto delle sue ricerche e delle sue scoperte; nella lettera, indirizzata all'amico Chevalier, chiedeva che Gauss e Jacobi giudicassero l'importanza del suo lavoro e concludeva con un amaro "ora non ho pi� tempo". Nel duello alla pistola fu colpito al ventre e abbandonato sul posto; soccorso da un contadino, mor� di peritonite all'ospedale il giorno successivo. L'importanza della teoria dei gruppi, oggetto principale delle ricerche di Galois, da nella trasformazione dell'algebra da uno studio delle equazioni a un'analisi di strutture astratte (come sono appunto i gruppi) definite secondo regole precise. Ma Galois si era interessato, come Abel, anche di integrali ellittici e soltanto Riemann e Weierstrass riuscirono, molti anni pi� tardi, a interpretare quanto era sintetizzato nella lettera su questo argomento.

Parigi 1811

1832

Hamilton

Matematico e astronomo irlandese, a dieci anni conosceva Omero a memoria e cominci� a studiare arabo e sanscrito, visto che altre lingue e le conosceva gi�; a diciassette anni scopr� un errore di calcolo nella Meccanica celeste di Laplace e a 23 anni venne nominato astronomo reale di Irlanda e direttore dell'osservatorio di Dublino. Sembra che da buon irlandese apprezzasse gli alcolici, tanto che raggiunta una certa et� fu costretto a farsi legare al telescopio per evitare pericolose cadute. Si dice poi che verso la fine della sua vita fosse completamente rincitrullito, ma intanto aveva stabilito alcune formule che furono poi fondamentali per comprendere l'analogia fra meccanica classica e quantistica, e aveva inventato i "quaternioni", partendo dagli studi di Gauss su numeri complessi, estendendo allo spazio alla rappresentazione che Gauss aveva limitato al piano, e fondando il calcolo vettoriale.

1805

1865

Boole

Partendo da considerazioni sull'analogia fra la logica dei filosofi e quella dei matematici, l'inglese George Boole impost� la "logica simbolica", mediante la quale il ragionamento logico diventa calcolo. Boole � pi� noto per la chieder� che utilizza il sistema numerico binario, fondamentale per i moderni calcolatori, ma la sua Analisi matematica della logica ha aperto la strada a ricerche astratte di grande interesse.

1815

1864

Russel

Chi tent� la completa logicizzazione della matematica fu Russel, assistito dall'amico Whitehead. Il conte inglese Bertrand Russel � noto per le posizioni pacifiste che lo portarono in carcere gi� nel corso della prima guerra mondiale e lo costrinsero a girare il mondo per quasi tutta la vita; filosofo e scrittore, nel 1950 ebbe il premio Nobel per la letteratura.

1872

1970